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Goldbachsche Vermutungen

23. Dezember 2016

Es gibt zwei:

  1. Alle geraden Zahlen grösser Zwei können als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden

  2. Alle ungeraden Zahlen grösser Fünf können als Summe max. dreier Primzahlen betrachtet werden.

Und warum ist das wichtig? Wenn diese Vermutungen widerlegt werden würden, wäre auch die Arithmetik widerlegt – man müsste mit der Mathematik von vorne beginnen.

Der Stand der Dinge ist, dass es sehr wahrscheinlich ist, dass diese Vermutungen stimmen, nur mit dem mathematischen Beweis tut man sich aktuell schwer.

Theoretisch konnte einiges für den richtig grossen Zahlenbereich bewiesen werden; der kleinere Zahlenbereich wurde von Computern bestätigt. Aber es klafft eine Lücke und die Bestätigung der Vermutung durch Computer ist schön aber kein Beweis. Beim kleinen Zahlenbereich ist das Problem, ob es genügend viele Primzahlen gibt, um das alle Zahlen summieren zu können.

Warum kümmert Dich das? Das hat mich bis vor kurzem nicht weiter gestört oder gekümmert. Das änderte sich vor ein paar Tagen mit der Aufforderung: „Zeig was Du kannst. Versuche Dich an diesem Thema!“ Die Aufforderung war die Retourkutsche für eine Aussage in einem anderen Post „ihr wisst, was ich kann“.

Ein paar Tage lang lachte ich über den Gedanken, denn an diesen Vermutungen haben sich praktische alle, die an der Mathematik oder Rätsel interessiert sind, versucht – und wie oben gezeigt, klafft nur noch eine Lücke für Spezialisten; einer der sich einfach nur schnell einarbeitet und etwas architektiert oder programmiert, scheint da etwas fehl am Platz zu sein. Der Einwand wurde mit „genau deshalb ja“ abgetan.

Eine Erkältung meldete sich an, andere Arbeiten waren abgeschlossen – mal vorbereiten kann man das ja mal – und plötzlich ging alles ganz schnell. Und das kam dabei heraus:

Wie geht man so was an?

Diese Frage wird mir oft gestellt. Die Antwort ist immer dieselbe: Stelle Dir die Frage, was ist die eigentliche Frage? Wenn das nicht direkt beantwortet werden kann, dann suche und liste Kriterien und suche die Interaktionen.

Zentrale Frage: gibt es genügend Primzahlen (auch im kleinen Bereich), um alle Zahlen summieren zu können? Der erste Gedanke war: Wie funktioniert das eigentlich genau bei den Zahlensystemen?

Primzahlen-Zahlensystem

Bei einem „normalen“ Zahlensystem können alle Zahlen gebildet werden, wenn der Zahlenbereich mit jeder Stelle um den Faktor steigt, der durch die Zahl der Ziffern gegeben ist. Mit anderen Worten verdoppelt sich der Wertebereich bei einem binären System und beim Dezimalen wird er mit zehn multipliziert.

Gibt es ein Zahlensystem aus Primzahlen? Bislang noch nicht, aber man kann es definieren. Zwei Definitionen bieten sich an: Wie bei einem binären System wird jede aktive Stelle mit einer Eins markiert, nicht aktive mit einer Null. Alternativ dazu kann statt einer Eins ein Wert zugelassen werden.

Ich entschied mich für die erste, die einfachere Variante; die zweite bietet mehr Möglichkeiten – die aktuell aber nicht benötigt werden.

Wenn die Primzahlen als Zahlensystem verwendet werden, dann würde die Liste der Primzahlen der Stelle entsprechen und es wäre nötig, die Null / Eins als Primzahl anzuerkennen. Es ist bei Zahlensystemen üblich, die kleinste Stelle rechts anzuschreiben und das System nach links wachsen zu lassen. Die ersten Stellen im Primzahlen-Zahlensystem sind entsprechend:

31 28 23 19 17 13 11 7 5 3 2 1

Dieses Stellensystem ist anders als die gewohnten, es ist nicht eineindeutig, denn Zahlen können oft auf mehrere (eindeutige) Arten kodiert werden. Bei der Achtzehn fällt das auf:

1 0 0 1 0 0 0

13 11 7 5 3 2 1

1 1 0 0 0 0

11 7 5 3 2 1

1 0 1 0 1 0

11 7 5 3 2 1

Auch die Elf kann aus Eins, Drei und Sieben mehrfach kodiert werden, die Beispiele spare ich mir hier, wer es jedoch durchprobieren will, wird sehen, dass in diesem System entweder der eine oder der andere Wert aufgelöst werden kann; Wenn statt einer Eins oder Null Zahlen erlaubt sind, dann kann man mehrere auflösen – es ist aber fraglich, ob die Eindeutigkeit erhalten bleibt. Das binäre Primsystem ist eindeutig besser geeignet.

Es gibt zudem das Bertrandsche Postulat, das besagt, dass es im Zahlenbereich zwischen der Zahl A und deren doppelten Wert mindestens eine Primzahl gibt.

Übertragen auf das Primsystem in Kombination mit z.B. dem binären Zahlensystem bedeutet das, dass das Primsystem nach der Primzahlenverteilung gerade in den kleinen Zahlenbereichen über sehr viele Stellen verfügt, proportional gerade in diesem Bereich genügend Summanden vorhanden sind, und im grossen Zahlenbereich mindestens eine weitere Primzahl gibt, die das Vorgehen aufrechterhält.

Dass nun nicht garantiert ist, dass diese eine, sicher vorhandene Primzahl, nicht an der effektivsten, an der doppelt so weit entfernten Stelle positioniert sein wird, ist weiter nicht wichtig, denn das Primsystem ist nicht an die Grenzen des binären gebunden, es hat weit mehr Stellen und sein Gültigkeitsbereich ragt i.d.R. weit über die nächste binäre Stelle (gerade bei grösseren Zahlen) hinaus, so dass das Bertandsche Postulat letztlich auch hier wieder mehrere weitere Primzahlen und Stellen für das Primsystem garantiert.

Fazit: Für einen Wilderer in diesem Bereich hoffe ich eine hilfreiche Notiz geliefert zu haben und einen mathematischen Sandkasten für alle Liebhaber solcher Überlegungen, quasi als Weihnachtsgeschenk.

Für das Primzahlen-Zahlensystem ist eine Tabelle relevant, sie wird im Anschluss gezeigt und beschrieben. Daran werde ich bei Gelegenheit weiterarbeiten, doch die Erkältung zwingt mich zu einem Zwischenstopp, einem Zwischenbericht, damit es später bündig weitergehen kann. Entsprechend knapp fällt dieser Post aus. Doch die entsprechenden Kurven kann man sich im Internet besorgen, die Programme sind auch schnell gemacht, die Überlegungen sind schlüssig und zeigen, dass es gerade im kleinen Zahlenbereich genügend Primzahlen gibt (proportional mehr als in einem grossen Zahlenbereich) um alle Summanden zu bilden.

Ob das bereits als Beweis gilt, ist fraglich. Zwar ist der Befürchtung, dass es in kleinen Bereichen zu wenige Primzahlen geben können, durch die Auffassung der Primzahlen als ein Zahlensystem zusammen mit der Kombination mit einem binären System, der zeigt, dass es bis in den relevanten Bereich, ausreichend viele Primzahlen geben wird, einiges entgegen gesetzt worden, das für das aktuelle Anliegen auch ausreichend sein sollte, doch wurde – wie so oft – mit dem Schliessen des einen Topfs mehrere andere geöffnet. Ob die Sache als abgeschlossen gilt, ist nicht ganz klar.

Einen ersten Eindruck kann man hier gewinnen:

Folgende Tabelle zeigt alle Summanden aller Primzahlen bis zu dieser Stelle (im Primsystem). Der Aufbau zieht den letzten Summanden (die Primzahl mit sich selbst) auf eine prominentere Stelle vor, denn dieser Summand wird häufiger benötigt als die anderen. Sie liegt direkt neben der ersten Spalte (die jede Primzahl mit der ersten, der Zwei addiert), die auch viele interessante Aspekte bietet, z.B. ist sie die einzige, die Primzahlen liefert und sie liefert spezielle Primzahlen (und ungerade Zahlen), die durch ein Paar und nicht durch das max. Trippel gebildet werden (weil die Zwei unter den Primzahlen die einzige gerade Zahl ist kann auch nur sie bei Addition mit einer ungeraden / Primzahl wieder eine Primzahl liefern).

Es stehen noch viele Analysen aus, aber viele Eigenschaften des Primsystems sind auch schon bekannt. Anstehend ist vor allem die Häufigkeit der Werte und die Bestimmung signifikanter Werte. Die 38 scheint so ein Wert zu sein und strukturell ist auffallend, dass die Abstände der Primzahlen sich in den Summanden wiederfinden, dass etliche Summanden Diagonalen bilden (auf einer Linie liegen), dass es bestimmte Bereiche gibt, in denen eine bestimmte gerade Zahl liegen kann (ausserhalb dieser Bereiche wird jede Suche scheitern, sie kann eingegrenzt werden), dass diese Eigenschaft wiederum auf die Primzahlen schliessen lässt und dass es sehr wahrscheinlich ist, dass zumindest die Suche nach einer weiteren Primzahl, die mit dieser ein gewissen Ergebnis liefert erleichtert wird. Irgendwie kann es sein, dass da ein Fass aufgemacht wurde – oder es ist einfach nur eine geistige Fieberblase – schau ma mal.

Primzahl Doppelte Summen

1

2 4

3 6 5

5 10 7 8

7 14 9 10 12

11 22 13 14 16 18

13 26 15 16 18 20 24

17 34 19 20 22 24 28 30

19 38 21 22 24 26 30 32 36

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